ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΝ ΘΕΩΡΗΜΑ. ΜΕΡΟΣ Ε.

Βακχείου του Απολλωνιαδίτου

Ο Jacobs Bronowski (μαθηματικός, βιολόγος και τηλεπαρουσιαστής στο BBC) τονίζει ότι, μέχρι σήμερα το θεώρημα του Πυθαγόρα παραμένει το σημαντικότερο θεώρημα σε όλα τα μαθηματικά. Την βαρύτητα και αλήθεια αυτής της ρήσης θα σας δείξουμε επιγραμματικά. Το πυθαγόρειο θεώρημα στην γεωμετρία λέει ότι, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών. Στην αριθμητική λέει, να ευρεθούν τρεις ακέραιοι αριθμοί α, β, γ, τέτοιοι ώστε να ισχύει η σχέση α²+ β² = γ², η οποία αντιστοιχεί στη επίλυση της εξίσωσης x²+ y² = z², μιας Διοφαντικής απροσδιόριστης ανάλυσης εξίσωσης δευτέρου βαθμού.

Ο φιλόσοφος Πρόκλος +(412-485) Διευθυντής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στο έργο του Υπόμνημα αναφέρει, «των μεν ιστορείν τα αρχαία βουλομένων ακούοντας το θεώρημα τούτο εις Πυθαγόραν αναπεμπόντων εστίν ευρεν». Κάθε τριάδα αριθμών που επαληθεύει το θεώρημα, αποτελεί πυθαγόρεια τριάδα. Με στόχο την εύρεση όλων και περισσότερων τριάδων ο Πυθαγόρας επινόησε μία μέθοδο αποδεικνύοντας την ύπαρξη απειρίας λύσεων. Τις λύσεις που βρήκε ο Πυθαγόρας τις ονόμασε τριάδες και κάθε τριάδα αριθμών δίδεται από τις σχέσεις x=m²-n², y=2mn, z=m²+n² όπου m,n τυχαίοι ακέραιοι αριθμοί και m>n, ή z = 2ν² + 2ν +1, x = 2ν(ν+1), y = 2ν + 1, όπου ν ακέραιος αριθμός, ή αν μ είναι περιττός αριθμός και μ>1 τότε z = ( μ² + 1)/2, x = μ, y = (μ² -1)/2. Έως σήμερα ανακαλυφθήκαν περισσότερες από 400 αποδείξεις.

Αρχαίες πηγές και μεγάλοι επιστήμονες όπως ο C. L. Dodgson και P. Dirac ομίλησαν για την δύναμη της ομορφιάς και της συμμετρίας της εξίσωσης του Πυθαγόρα η οποία σε παγκόσμιο διαγωνισμό του Physics World το 2004 από τους αναγνώστες του αδίκως, κατέλαβε μόνο την τέταρτη θέση με πρώτη τον τύπο Euler e^iπ+ 1 = 0, δεύτερη τις εξισώσεις ηλεκτρομαγνητισμού Maxwell και τρίτη τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση F = mα. Ακόμη η σχηματική του γεωμετρική παράσταση όπως την γνωρίζουμε, προτάθηκε από τους L. Lederman (Νόμπελ φυσικής), C. F. Gauss και σύγχρονους ειδικούς στην διαστρική επικοινωνία, ως ένα κοσμικό δελτίο ταυτότητας με το οποίο θα μπορούσαμε να συστηθούμε σε εξωγήινα όντα.

Ποιες είναι οι πληροφορίες για το θεώρημα πριν τον Πυθαγόρα; Είναι μόνο δύο, η Βαβυλωνιακή(κατ΄ ουσία μόνον αυτή) και η Αιγυπτιακή. Όλες οι άλλες είναι μεταγενέστερες του Πυθαγόρα.

Στο σημερινό Ιράκ πριν 4000 χρόνια υπήρξε ένας πολιτισμός ο Βαβυλωνιακός. Βρέθηκαν με ανασκαφές πολλές εκατοντάδες χιλιάδες πινακίδες. Από αυτές δύο παρουσιάζουν ενδιαφέρον για την περίπτωσή μας. Οι πινακίδες YBC7289 και Plimton322. Η άποψη που διατυπώνεται με αναγωγές, υποθέσεις και αυθαίρετες διορθώσεις, ότι από τις βαβυλωνιακές πινακίδες YBC7289 και Plimton322 οι Βαβυλώνιοι από -(2000-1600) γνώριζαν το θεώρημα (όχι ότι το απέδειξαν), δεν ευσταθεί, και να γιατί.

Η πρώτη η YBC7289 δείχνει κατά προσέγγιση ένα τετράγωνο με τις δύο διαγώνιές του και τρεις αριθμούς εξηνταδικού συστήματος σε σφηνοειδή γραφή. Ο ένας 30, αναγνωρίζεται ως η πλευρά του τετραγώνου, ο δεύτερος είναι ο 1,414213 κατά προσέγγιση ο τετρ. ρίζα2, και ο τρίτος ομοίως 42,4264 η διαγώνιος του τετραγώνου. Η πινακίδα αυτή δείχνει ένα εμπειρικό υπολογισμό της διαγώνιου ενός τετραγώνου από την πλευρά του. Τίποτα άλλο. Συνεπώς αυτό δεν αποδεικνύει ότι γνώριζαν και ούτε ότι κατείχαν την απόδειξή του Πυθαγορείου θεωρήματος. Η δεύτερη η Plimton322 με αριθμούς σε μορφή πίνακα 15 σειρές και 5 στήλες δεν δείχνει όπως αυθαίρετα διατυπώνεται πυθαγόρειες τριάδες και τριγωνομετρικούς αριθμούς, αλλά υπολογισμούς με ζεύγη αντίστροφων αριθμών όπως απέδειξε ή Eleanor Robson με εργασία της που δημοσιεύθηκε το 2002 στο περιοδικό Mathematical Association of America και που γι΄ αυτό βραβεύθηκε το 2003 με το βραβείο Lester R. Ford θεωρώντας τις προηγούμενες ερμηνείες μαθηματικές παρανοήσεις.

Διατυπώνεται η άποψη (Joy Hakin) ότι στην αρχαία Αίγυπτο για την κατασκευή των πυραμίδων πρέπει να γνώριζαν το θεώρημα. Στον ευρεθέντα όμως πάπυρο Rhind ο οποίος γράφηκε το -1650 αναφέρονται 84 προβλήματα αναλυτικά (αριθμητικής, 20 γεωμετρίας και 5 πυραμίδων) με τις λύσεις τους, δεν γίνεται σε κανένα ούτε και έμμεσα ακόμη, αναφορά στο θεώρημα του Πυθαγόρα.

Διαπρεπείς μελετητές των αρχαίων μαθηματικών όπως οι Bartel Leendert van der Waerden, Dirk Jan Struik και Σερ Thomas Little Heath, δηλώνουν ότι δεν υπάρχει καμία ένδειξη ότι οι Αιγύπτιοι γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρημα, ακόμη ούτε και την πρώτη πυθαγόρεια τριάδα 3,4,5. Και το συμπέρασμα που ανακύπτει είναι. Και επειδή είναι αυτονόητο ότι οι κατασκευαστές των πυραμίδων για την κατασκευή τους πρέπει να γνώριζαν το πυθαγόρειο θεώρημα, σύμφωνα με την σύγχρονη Μηχανική, προκύπτει εύλογα το συμπέρασμα ότι δεν είναι οι Αιγύπτιοι οι κατασκευαστές των πυραμίδων.

Το πυθαγόρειο χρησιμοποιείται σε αποδείξεις γεωμετρικές και αλγεβρικές, στην αναλυτική γεωμετρία που επινόησε ο Καρτέσιος, στην διαφορική γεωμετρία που επινόησαν Euler, Gauss και Riemann, στον απειροστικό λογισμό των Leibniz και Newton, στην σύνθεση δυνάμεων και εν γένει διανυσματικών μεγεθών στην φυσική, σε δυσδιάστατους, τρισδιάστατους και πολυδιάστατους χώρους για τον υπολογισμό του μέτρου διανύσματος, στην Μηχανική και σε Στατικούς υπολογισμούς στην κατασκευή έργων και ακόμη με κατάλληλη προσαρμογή σε υπολογισμούς αποστάσεων και πλοήγησης πλοίων και αεροσκαφών επί της επιφάνειας της Γης και γενικότερα σφαιρικών και κυλινδρικών επιφανειών και τις συναρτήσεις Bessel τάξης 0 και1. Το 1905 στους μετασχηματισμούς Lorentz στην θεωρεία της σχετικότητας χρησιμοποιείται το πυθαγόρειο θεώρημα. Ο Hermann Minkowski στο χωρόχρονο για τον υπολογισμό της χωροχρονικής απόστασης μεταξύ δύο γεγονότων στον χωρόχρονο χρησιμοποιεί το πυθαγόρειο θεώρημα. Το 1907 το πυθαγόρειο θεώρημα εισάγεται στους συναρτησιακούς χώρους Hilbert απείρων διαστάσεων για τον υπολογισμό της απόστασης από την αρχή των αξόνων στους οποίους κάθε συνάρτηση είναι ένα διάνυσμα. Τη πυθαγόρεια παράσταση x² + y² την συναντούμε με διαφορετικά ενδεχομένως γράμματα στην τριγωνομετρία, στον απειροστικό λογισμό, στις διαφορικές εξισώσεις, στις μιγαδικές συναρτήσεις, στη συναρτησιακή ανάλυση και στη θεωρία των αριθμών. Το πυθαγόρειο ακόμη θεώρημα ισχύει και για τα εμβαδά των όμοιων σχημάτων που γράφονται με πλευρές τις πλευρές κάθε ορθογωνίου τριγώνου. Με βάση το πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να κατασκευασθεί γεωμετρικά η τετραγωνική ρίζα οποιοδήποτε ακέραιου αριθμού.

Ο άρρητος αριθμός τετρ.ρίζα2 που σχετίζεται με το πυθαγόρειο θεώρημα και που δεν μπορεί να ορισθεί σαν ρητός στο αλγεβρικό και αριθμητικό πεδίο ορισμού, ενδεχομένως να είναι η δίοδος επικοινωνίας με ένα επόμενο κβαντισμένο χωρόχρονο στον οποίο να ορίζεται ρητός.

Να τι διατυπώνει ο καθηγητής ιστορίας μαθηματικών Eli Maor. «Γιατί η εξίσωση Fermat (Πυθαγόρα) xⁿ + yⁿ = zⁿ έχει ακέραιες λύσεις για n = 1, 2 και όχι για n>2. Μπορεί το 2 να αποτελεί την απόλυτη μαθηματική σταθερά υπερβαίνοντας σε σπουδαιότητα ακόμη και το π και e (την βάση νεπερείων λογαρίθμων). Ωστόσο, όσο σημαντικές κι αν ήταν οι άλλες ανακαλύψεις του Πυθαγόρα, ωχριούν μπροστά σε δύο συμβάντα που επηρέασαν βαθιά τη μελλοντική πορεία των μαθηματικών: η απόδειξη από τον Πυθαγόρα του περίφημου θεωρήματός του και η ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών.

Ποια είναι τα σημαντικότερα γεγονότα που σχετίζονται με το πυθαγόρειο θεωρήμα;

Το - 540 ο Πυθαγόρας αποδεικνύει το ομώνυμο θεώρημα και ότι ο αριθμός τετρ.ριζα2 είναι άρρητος. Το -300 ο Ευκλείδης συντάσσει τα Στοιχεία του όπου το πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται στο Βιβλίο 1 ως Πρόταση 47 και στο Βιβλίο 4 ως Πρόταση 31 με διαφορετική απόδειξη. Το -250 ο Αρχιμήδης εφαρμόζει το πυθαγόρειο θεώρημα σε μια σειρά εγγεγραμένων και περιγεγραμμένων σε κύκλο πολυγώνων για το υπολογισμό του π. Τον -2ο αιώνα ο Πτολεμαίος αποδεικνύει το θεώρημά του για εγγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο το οποίο στη ειδική περίπτωση εγγεγραμμένου ορθογώνιου παραλληλόγραμμου, ταυτίζεται με το πυθαγόρειο θεώρημα. Τον +3ο αιώνα ο Πάππος αποδεικνύει μια γενικότερη εκδοχή του πυθαγορείου θεωρήματος για κάθε τρίγωνο.

Ο φιλόσοφος Πρόκλος +(412-485) Διευθυντής της Ακαδημίας του Πλάτωνα στο έργο του Υπόμνημα αντλεί από τον φιλόσοφο Εύδημο -(370-300) την πληροφορία ότι, το θεώρημα αυτό το διατύπωσε και το απέδειξε μαθηματικά πρώτος ο Πυθαγόρας «των μεν ιστορείν τα αρχαία βουλομένων ακούοντας το θεώρημα τούτο εις Πυθαγόραν αναπεμπόντων εστίν ευρείν». Σύμφωνα με την παράδοση ο Πυθαγόρας μετά την απόδειξη του θεωρήματος έκανε θυσία εκατόμβης για να ευχαριστήσει τους θεούς.

Ο J. Kepler είπε. «Η γεωμετρία διαθέτει δύο μεγάλους θησαυρούς του Πυθαγόρα: ο ένας είναι το θεώρημα του και ο άλλος η διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο, η χρυσή τομή δηλαδή ο λόγος ολόκληρου του τμήματος προς το μεγαλύτερο που είναι ίσος με τον λόγο του μεγάλου τμήματος προς το μικρό. Ο λόγος αυτός ονομάζεται φ ή θεία αναλογία και είναι φ = (1+τετρ.ρίζα5)/2 = 1,61803».

Όσο και αν θέλουν να αποδείξουν κάποιοι ότι, το θεώρημα το γνώριζαν μόνον και όχι ότι το απέδειξαν οι Βαβυλώνιοι γιατί βρέθηκε μια πινακίδα με ένα τετράγωνο, Αιγύπτιοι επειδή οι πυραμίδες κατασκευάσθηκαν στον τόπο τους και παρά το γεγονός ότι βρέθηκε πλούσια βιβλιογραφία με γεωμετρικά προβλήματα χωρίς όμως καμία αναφορά στο πυθαγόρειο θεώρημα, ή Κινέζοι το -200 με ελλειπή στοιχεία και οι Ινδοί ομοίως σε μερικές γραμμές για τετράγωνο μετά τον Πυθαγόρα δεν πείθουν.. Το θεώρημα αυτό αποδείχθηκε από τον Πυθαγόρα, αφού προηγήθηκε η ανάπτυξη όγκου γνώσης σχετικής με το θέμα και απόδειξη και άλλων εξ΄ ίσου σημαντικών και συναφών θεωρημάτων.