ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FERMAT (ΠΥΘΑΓΟΡΑ-FERMAT). ΜΕΡΟΣ Δ.

 Βακχείου του Απολλωνιαδίτου.

Το γνωστό στους θετικούς επιστήμονες θεώρημα του Fermat, που παρέμενε άλυτο για 350 περίπου έτη και που το διατύπωσε ο αινιγματικός και κατ' άλλους ιδιοφυής ερασιτέχνης μαθηματικός Pierre de Fermat περί το 1637, λύθηκε από τον Andrew J. Wiles το 1993 και με διορθωμένη απόδειξη, γιατί βρέθηκε λάθος, σε 130 πυκνογραμμένες σελίδες με χρήση νέων μαθηματικών πεδίων, εννοιών, εργαλείων και τεχνικών δημοσιεύθηκε στο Annals of Mathematics (Μάιος 1995).

Ο Fermat σπούδασε νομικός στο πανεπιστήμιο της Τουλούζης χωρίς να έχει επιδείξει κάποια κλήση στα μαθηματικά έως το 1631. Το 1637 περίπου, στο περιθώριο της σελίδας του συγγράμματος "Αριθμητικά" του Διόφαντου (από τα 13 βιβλία τον μεσαίωνα έμειναν μόνον 6) στο πρόβλημα 8 όπου γίνεται χρήση συναφών Πυθαγορείων τριγώνων, σημειώνει.

Είναι αδύνατον μία κυβική δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δύο κυβικών δυνάμεων ή μία τέταρτη δύναμη να γραφεί ως άθροισμα δύο τέταρτων δυνάμεων και γενικά οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη του τετραγώνου είναι αδύνατον να γραφεί ως άθροισμα ίδιων δυνάμεων.

Στην παραπάνω σημείωση δεν καθορίζει ότι η λύση αφορά μόνον ακέραιους αριθμούς βασική προϋπόθεση του θεωρήματος. Μια τέτοια παράλειψη σε πανελλήνιες εξετάσεις θα προκαλούσε ακύρωση των εξετάσεων. Αλλά ας το παρακάμψουμε. Με την προσθήκη της απαίτησης των ακεραίων λύσεων το προς επίλυση πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής.

Η εξίσωση xⁿ+yⁿ=zⁿ δεν έχει ακέραιες λύσεις, όπου n φυσικός αριθμός για n>2. Και συνεχίζει ο Fermat με δεύτερη σημείωση. Έχω μια πραγματικά υπέροχη απόδειξη αυτής της πρότασης, που όμως δεν χωρά σ’ ένα τόσο στενό περιθώριο.

Ο Fermat όταν έγραφε τις σημειώσεις αυτές μελετούσε Διοφαντική ανάλυση σε συναφή μαθηματικά πεδία στα ΄΄Αριθμητικά΄΄ του Διόφαντου, και δίδει μια απόδειξη του θεωρήματος μόνον για n=4 με ασάφειες δια της εις άτοπο απαγωγής, αποδεικτικής μεθόδου των Πυθαγορείων. Πολύ γρήγορα μάλλον θα πρέπει να βεβαιώθηκε για την ισχύ της απόδειξης του θεωρήματός του αν συγκριθεί με τις 130 σελίδες της απόδειξης του Wiles. Η εκτίμησή του ότι δεν επαρκούσε το περιθώριο της σελίδας και όχι όλου του βιβλίου δείχνει ότι η απόδειξή του θα ήταν ολίγων σελίδων και το πιθανότερο ανεπαρκής αν ήταν δική του. . Ή τέλος γνωρίζοντας ότι δεν υπήρχε λύση του προβλήματος από κάποια άγνωστη αρχαία πηγή ή του συγγράμματος του Διόφαντου, διατύπωσε ένα γρίφο.

Γενικεύοντας το φερόμενο ως θεώρημα του Fermat δηλαδή η εξίσωση xⁿ+yⁿ=zⁿ δεν έχει ακέραιες λύσεις, όπου n φυσικός αριθμός για n>2, για όλους τους φυσικούς αριθμούς n=1,2,3,4,5,6,,,, μπορεί να διατυπωθεί διαφορετικά με το αυτό νόημα όπως παρακάτω. Να ευρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης xⁿ+yⁿ=zⁿ για όλους τους φυσικούς αριθμούς όπου n=1,2,3,4,5,6,,,,

Αυτή είναι μια τυπική μορφή Διοφαντικών εξισώσεων τις οποίες αναφέρει ο Διόφαντος στο σύγγραμμα ΄΄Αριθμητικά΄΄ (από τα 13 βιβλία το μεσαίωνα έμειναν μόνον 6) και το οποίο περιείχε τη θεωρία των αριθμών, συσσωρεμένη γνώση χιλίων χρόνων του Πυθαγόρα, Ευκλείδη, Αρχιμήδη κ.α. Το σύγγραμμα αυτό μελετούσε ο Fermat όταν έγγραφε τις αναφερθείσες σημειώσεις του. Πριν το Διόφαντο ο Πυθαγόρας μελέτησε την εξίσωση αυτή για n=1,2. Δηλαδή για n=1 η εξίσωση παίρνει τη μορφή x+y=z και έχουμε μια απλή Διοφαντική εξίσωση. Η εξίσωση για n=2 παίρνει τη μορφή x²+y²=z² και έχομε την περίπτωση του Πυθαγορίου θεωρήματος. Ο Πυθαγόρας βρήκε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής (x=m²-n², y=2mn, z=m²+n² όπου m,n τυχαίοι ακέραιοι αριθμοί) τις ονομαζόμενες τριάδες, απέδειξε ότι αυτές είναι άπειρες και επίσης απέδειξε ότι η εξίσωση αυτή ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές x, y και υποτείνουσα z.

Ο έλεγχος της ορθότητας με δοκιμές μιας πρότασης είναι μια καθιερωμένη πρακτική που χρησιμοποιείται και σήμερα από μαθητές, φοιτητές, καθηγητές. Αποδεικτικές μέθοδοι όπως η επαγωγική, η δια της εις άτοπο απαγωγής, η εξαντλητική είναι επινοήσεις Ελλήνων φιλοσόφων.

Έτσι είναι αδύνατον ο Πυθαγόρας να μην εξέτασε την επίλυση της εξίσωσης xⁿ+yⁿ=zⁿ του Fermat για n=3,4,5,,,, Δηλαδή είναι βέβαιο ότι ο Πυθαγόρας επεχείρησε να βρει και τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης xⁿ+yⁿ=zⁿ για n=3,4,5,6,,,, και θα βεβαιώθηκε ότι δεν υπάρχουν. Αν απέδειξε ο Πυθαγόρας ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις δεν το γνωρίζουμε, κυρίως λόγω της μυστικότητας και καταστροφών της βιβλιογραφίας. Θεωρείται βέβαιο όμως, το ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις της εξίσωσης xⁿ+yⁿ=zⁿ για n=3,4,5,,,, το γνώριζε και το διαπίστωσε ο Πυθαγόρας. Έτσι η πολυσυζητημένη διατύπωση του φερόμενου ως θεωρήματος Fermat δεν είναι επινόηση του Fermat αλλά μια κοινότυπη διαπίστωση του Πυθαγόρα ο οποίος όχι μόνον έθετε προβλήματα προς λύση αλλά και τα επέλυε.

Πολλοί μαθηματικοί προσπάθησαν κατά καιρούς να βρουν κάποια απόδειξη του θεωρήματος Fermat, όμως τελικά αποτύγχαναν. Το 1742 ο Leonard Euler, ο μεγαλύτερος θεωρητικός της θεωρίας των αριθμών του 18ου αιώνα, παρά την απόδειξή του για n=3, απογοητεύτηκε τόσο, που ζήτησε από ένα φίλο του να ψάξει το σπίτι του Fermat μήπως και τυχόν έβρισκε κάποιο μυστικό σημείωμα που θα βοηθούσε στην προσπάθεια επίλυσης. Τον 19ο αιώνα η Sophie Germain με το ανδρικό όνομα Monsieur Leblanc, απέδειξε το θεώρημα μόνον για πρώτους αριθμούς.

Ο Wiles μεταπτυχιακός φοιτητής αποφάσισε να ασχοληθεί με το πεδίο της μαθηματικής επιστήμης που ονομάζεται θεωρία των ελλειπτικών καμπύλων. Οι Αρχαίοι Έλληνες αρχικά ερεύνησαν το μαθηματικό αυτό πεδίο. Οι ελλειπτικές καμπύλες εμφανίζονται μάλιστα σαν προς μελέτη πεδία και στο βιβλίο ΄΄Αριθμητικά΄΄ του Διόφαντου. Το πεδίο αυτό θα τον οδηγούσε προς την κατεύθυνση του προβλήματος του Fermat.

Η εξέλιξη του εγχειρήματός του, συντέλεσε στην ανάπτυξη ιδιαίτερων κλάδων των Μαθηματικών, εργαλεία των οποίων χρησιμοποίησε για να πετύχει την απόδειξη του θεωρήματος. Αυτό που έκανε συγκεκριμένα ήταν να χρησιμοποιήσει το πόρισμα των Goro Shimura - Yutaka Taniyama που ήταν μια σημαντική πρόοδος τόσο στην αναλυτική γεωμετρία όσο και στην μιγαδική ανάλυση και δημιούργησε ένα δεσμό μεταξύ αυτών των δύο μαθηματικών κλάδων. Στο εξής πρωτοποριακές ανακαλύψεις στον ένα κλάδο θα εφαρμόζονταν και στον άλλο. Επίσης από τη στιγμή που αυτή η γέφυρα δημιουργήθηκε, τέθηκαν και οι βάσεις για την ενοποίηση περισσότερων και φαινομενικά άσχετων μαθηματικών θεωριών.

Ο Wiles με την χρήση μελετών των Gerd Faltings, Gerhard Frey, Ribet, θεώρημα των Langlands και Tunnell και την μέθοδο Kolyvagin-Flach απέδειξε το θεώρημα του Fermat και το οποίο παρουσίασε στο Cambridge στις 23 Ιουνίου 1993. Στην απόδειξη όμως αυτή μετά τον σχετικό έλεγχο διαπιστώθηκε λάθος στην χρήση της μεθόδου Kolyvagin-Flach.

Μετά από 14 μήνες προσπαθειών με ένα παλιό συμφοιτητή του, τον Richard Taylor το Σεπτέμβριο του 1994 διορθώθηκε το λάθος και η σωστή απόδειξη σε 130 περίπου πυκνογραμμένες σελίδες δημοσιεύθηκε στο Annals of Mathematics (Μάιος 1995). Στις 27 Ιουνίου 1997 του απονεμήθηκε το βραβείο Wolfskehl που είχε προκηρυχθεί από το 1908 για τον σκοπό αυτό.

Ας αναφέρουμε μερικά επιτεύγματα στη θεωρία των αριθμών του Πυθαγόρα, των Πυθαγορίων κ.α. και ορισμένα ακόμη άλυτα προβλήματα που διατύπωσαν και ανέπτυξαν οι Έλληνες φιλόσοφοι.

Θεωρία των αριθμών: Η απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος η εύρεση των ακεραίων λύσεων των τριάδων, η διαπίστωση και η απόδειξη των απείρων λύσεων. Η μελέτη των ιδιοτήτων των φυσικών αριθμών, των ρητών, των αρρήτων-ασύμμετρων αριθμών, η θεωρία των αναλογιών, χρυσή τομή. Η μελέτη της αρμονίας την ήχων των χορδών, των φίλων, των τελείων, υπερτελείων αριθμών, του αριθμού π. Η Διοφαντική ανάλυση. Ο προσδιορισμός των ορίων και των αρχών του απειροστικού λογισμού.

Αξιομνημόνευτα προβλήματα. Ο τετραγωνισμός του κύκλου, δηλαδή να κατασκευασθεί γεωμετρικά τετράγωνο ίσου εμβαδού κύκλου. Το Δήλιον πρόβλημα, δηλαδή ο γεωμετρικός διπλασιασμός του όγκου κύβου και η γεωμετρική τριχοτόμηση γωνίας.

Η απόδειξη του Wiles σε 130 σελίδες, είναι με απ΄ ευθείας μέθοδο, σωστή, αλλά μακροσκελής, πολύπλοκη και όχι ευφυής. Έχει αρχίσει ένας νέος αγώνας δρόμου μεταξύ των σύγχρονων μαθηματικών για εύρεση μιας σύντομης μερικών σελίδων, μεγαλόπρεπης και ευφυέστερης απόδειξης του θεωρήματος αυτού. Δηλαδή λέτε να επαληθευθεί ο Fermat; Όχι. Διότι αν γνώριζε μια ευφυή και σύντομη απόδειξη όπως υπονοεί η σημείωσή του με το ανεπαρκές του περιθωρίου της σελίδας των ΄΄Αριθμητικά΄΄ του Διόφαντου, δεν θα έγραφε αργότερα με ασάφειες την απόδειξη για την μεμονωμένη περίπτωση n=4, αλλά απ΄ ευθείας την γενική απόδειξη για n>2, πράγμα που δεν έκανε αλλά ούτε και επεχείρησε άλλη παρόμοια σημείωση.

Ριψοκινδύνευσε με την δήλωσή του αυτή και έπεσε μέσα; Όχι. Να τι λέει ο Stephen Hawking «Συγκεκριμένα όλοι συμφωνούν στο ότι η απόδειξη που έδωσε ο Wiles είναι τελικά αρκετά πολύπλοκη και μοντέρνα ώστε να προσεγγίζει αυτό που είχε στο μυαλό του ο Fermat όταν έγραψε το περίφημο σημείωμα στο ΄΄Αριθμητικά΄΄. Συνεπώς είτε ο Fermat έκανε λάθος και η απόδειξή του -αν ποτέ υπήρξε - ήταν ανεπαρκής, είτε μια απλή και αφοπλιστική απόδειξη περιμένει την ανακάλυψή της» Τι απομένει;

Ο Fermat από τα ΄΄Αριθμητικά΄΄ του Διόφαντου (επισήμως είχε μόνον τα 6 από τα13 βιβλία) τα οποία περιείχαν την γνώση των Πυθαγόρα, Πυθαγορείων, Ευκλείδη, Αρχιμήδη κ.α. είχε κατά νου την ύπαρξη μιας σύντομης εφυούς αρχαίας ελληνικής απόδειξης, χωρίς κατ΄ ανάγκη να γνωρίζει ο ίδιος την ίδια την απόδειξη.