ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ. ΜΕΡΟΣ Α

 

Βακχείου του Απολλωνιαδίτου

Ο βίος του.

Θεωρία των αριθμών.

Γεωμερία, Μουσική, Κοσμολογία.

Ο βίος του.

Η ανεπάρκεια αξιόπιστων ιστορικών μαρτυριών, το απόρρητο των Πυθαγορείων, όπως και το μυστήριο και ο θρύλος που καλύπτει την ζωή και το έργο του Πυθαγόρα, συνθέτουν μια αμφιλεγόμενη για τους αμύητους και αδαείς, αλλά Μεγίστη δια τους μυημένους και ειδικούς προσωπικότητα. Από πληροφορίες που διαθέτουμε, συμπεραίνουμε ότι υπήρξε Μέγας Έλληνας, μαθηματικός, φιλόσοφος, θαυματοποιός, ανέπτυξε δικό του παιδευτικό σύστημα, θρησκευτικός αναμορφωτής, Μέγας Μύστης και αρχηγέτης μεγάλου θρησκευτικοπολιτικού κινήματος. Ο Πυθαγόρας διακήρυξε, ότι το θείον προσεγγίζεται με το «γνώθι σ΄ αυτόν», και «αριθμός το παν». Η ουσία των όντων είναι οι αριθμοί. Το Σύμπαν προήλθε από το υπάρχον χάος δια της μορφής, δηλαδή του μέτρου και της αρμονίας. Ο Πυθαγόρας πρώτος το ονόμασε Κόσμο, δηλαδή Τάξη, λόγω της επικρατούσας σε αυτό αρμονίας.

Η εγκυρότητα των πληροφοριών για τον Πυθαγόρα αμφισβητείται από πολλούς. Είναι συγκεχυμένες οι αρχαίες μαρτυρίες και αντικρουόμενες οι νεότερες για την ζωή και τη δράση του Πυθαγόρα. Ελάχιστες είναι οι εξακριβωμένες πληροφορίες. Δεν άφησε ο ίδιος γραπτά και ακόμη δεν υπήρξαν γραπτά για τον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους ούτε για τα επόμενα 100 έτη μετά τον θάνατό του. Αντιφατικές είναι και οι μαρτυρίες για τη συγγραφική δραστηριότητα του Πυθαγόρα. Κάποιοι λένε ότι δεν άφησε γραπτά. Άλλοι λένε ότι έγγραψε τα συγγράμματα: Παιδευτικό, Πολιτικό, Φυσικό, Περί του όλου, Ιερός Λόγος, Περί ψυχής, Περί ευσεβείας, Ηλοθαλής, Κρότων, Υπομνήματα, Χρυσά έπη κ.α. Το ότι υπήρχε το απόρρητο μεταξύ των Πυθαγορείων αυτό δυσκολεύει στην ασφαλή διαπίστωση, αν έγγραψε ή όχι συγγράμματα. Οι βιογραφικές πληροφορίες για τον Πυθαγόρα προέρχονται από τον Διογένη τον Λαέρτιο, τον Πορφύριο και τον Ιάμβλιχο, οι οποίοι αντλούν τις πληροφορίες από τον Αριστόξενο και τον Δικαίαρχο.

Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε στη Σάμο περί το -580 και πέθανε στο Μεταπόντιο περί το -490 σε ηλικία άνω των ογδόντα ετών. Ο πατέρας του Μνήσαρχος ήταν κοσμηματοπώλης δακτυλιογλύφος και η μητέρα του η Πυθαΐς καταγόταν από τον ήρωα Αγκαίο, υιό του θεού Δία, ιδρυτή της πόλης της Σάμου. Έλαβε για σύζυγό του την Θεανώ από την οποία απέκτησε τον Αρίμνυστο, κατ’ άλλους Τηλαυγή και δύο κόρες την Μυΐα και την Αριγνώτη.

Ο Πυθαγόρας πίστευε και δίδασκε την μετεμψύχωση. Δηλαδή η ψυχή του ανθρώπου μετά τον θάνατο, αν μεν είναι τελεία, μεταβαίνει και ενώνεται με το θείο, διαφορετικά αν ο άνθρωπος έχει διαπράξει σφάλματα στη ζωή του, μεταβαίνει στα φυτά ή τα ζώα προς τιμωρία και εξαγνισμό. Οι διάφορες αυτές ζωές μιας ψυχής επί της Γης διαρκούν 3000 έτη.

Κατά τον Ηρακλείδη τον Ποντικό σύμφωνα με τη θεωρία της μετεμψύχωσης ο Πυθαγόρας έλεγε, ότι ήταν πρώτα ο Αιθαλίδης, υιός του θεού Ερμή, ο οποίος του έδωσε το χάρισμα της μνήμης των προηγούμενων ζωών του, μετά ο Εύφορβος, ο οποίος πληγώθηκε από τον Μενέλαο, μετά ο Ερμότιμος, ο οποίος του απέδειξε την αλήθεια της ιστορίας του Εύφορβου, μετά ο Πύρρος, ψαράς στη Δήλο, και μετά γεννήθηκε ως Πυθαγόρας. Είχε εξαιρετικούς διδασκάλους, τον Φερεκύδη στην Λέσβο, θεμελιωτή τηγς θεωρίας της αθανασίας της ψυχής κατά τον Κικέρωνα, τον Ερμοδάμαντα στην Σάμο, τον Θαλή τον Μιλήσιο και τον Αναξίμανδρο στη Μίλητο. Με συστατικά γράμματα του τυράννου της Σάμου Πολυκράτη προς τον Φαραώ Άμαση, πήγε στην Αίγυπτο όπου παρέμεινε 22 έτη και συναναστράφηκε με τους Αιγυπτίους ιερείς. Από εκεί μεταφέρθηκε αιχμάλωτος μαζί με άλλους κορυφαίους ιερείς της Αιγύπτου στη Βαβυλώνα από τον Καμβύση, όπου και συναναστράφηκε με μάγους Πέρσες και Χαλδαίους σοφούς για 12 έτη. Ταξίδευσε στην Ινδία και γνώρισε τους Βραχμάνες και τον Βούδα. Αργότερα με παρέμβαση του Δημοκήδη προσωπικού ιατρού του Πέρση βασιλιά αφέθηκε ελεύθερος και σε ηλικία 56 ετών επιστρέφει στην Σάμο, την οποία κυβερνά ακόμη ο τύραννος Πολυκράτης. Απογοητευμένος από τον Πολυκράτη έφυγε από τη Σάμο και επισκέφθηκε την Δήλο, το Ιδαίο άντρο της Κρήτης, το Μαντείο των Δελφών και τέλος μεταβαίνει στην Ιταλία περί το -512. Με την οικογένειά του εγκαθίσταται στον Κρότωνα, πατρίδα του Μίλωνα του ολυμπιονίκη, τον οποίο κάνει μαθητή του. Εκεί κάνει θαυμάσια έργα και διδάσκει στο γυμνάσιο. Ιδρύει τη θρησκευτική αδελφότητα, το ομακοείο με περισσότερους από εξακόσιους μαθητές. Το σπίτι του Μίλωνα γίνεται εστία των Πυθαγορείων. Αυξάνουν οι φήμες του και διαδίδεται ότι έχει υπερφυσικές ικανότητες, κάνει ποικίλες προβλέψεις και παρουσιάζεται ταυτόχρονα σε μαθητές του στο Κρότωνα και Μεταπόντιο. Στον Κρότωνα συναντά τον ιερέα του Απόλλωνα τον Άβαρη. Ο Άβαρης παραδίδει στον Πυθαγόρα το ιερό βέλος του Απόλλωνα και ο Πυθαγόρας του δίδει τον χρυσό μηρό του, χαρακτηριστικό της ηλιακής καταγωγής του, ενώ ο Άβαρης γίνεται μαθητής του. Οι Πυθαγόρειοι γίνονται αιτία πολέμου μεταξύ Σύβαρης και Κρότωνα. Τελικά στον Κρότωνα στο σπίτι του Μίλωνα τους βάζουν φωτιά και τους καίνε όλους. Διασώθηκαν μόνο δύο, ο Άρχιππος και ο Λύσις.

Ο Ηράκλειτος μαρτυρεί για την ευρυμάθεια, την σοφία και την πολυμάθειά του, ο Ξενοφάνης αναφέρει ότι του Πυθαγόρα είναι η θεωρία της μετεμψύχωσης. Ο Εμπεδοκλής λέει ότι «Υπήρξε μεταξύ των Ελλήνων ένας άνδρας προικισμένος με απέραντη σοφία, του οποίου η διανόηση περιέκλειε ανεκτίμητο θησαυρό σκέψεων. Ακτινοβολούσε στις πλέον διαφέρουσες επιστήμες και όταν ερευνούσε ένα θέμα, η μεγαλοφυΐα του ξεπερνούσε την αστραπή. Το οξύ του βλέμμα σε βραχύτατο διάστημα ανακάλυπτε περισσότερες αλήθειες από όσες δέκα ή είκοσι ανθρώπινες γενιές». Ο Διογένης ο Λαέρτιος γράφει «δεν είχε όμοιους για να κάνει φίλους» Και αυτή είναι η μεγαλύτερη δόξα. Ο Πορφύριος αναφέρει ότι είχε υπερφυσικές ικανότητες, να θεάται αυτοστιγμεί 10-20 εποχές, είχε μαγνητισμό, επικοινωνία με το θείο, προβολή της ψυχής του οπουδήποτε, κατάβασή του στον Άδη, «η ανάστασή του εκ των νεκρών», επικοινωνία με άτομα από μακρά, μαντείες, προφητείες, τηλεπάθεια, αιώρηση στο κενό, θεραπευτικές ικανότητες, «ανάσταση νεκρών» και άλλα θαυμάσια έργα.

Η σχολή του Πυθαγόρα, απαριθμούσε έως και 2000 μαθητές μεταξύ των οποίων και γυναίκες. Το υποψήφιο μέλος γινότανε δεκτό μετά από επιτυχείς εξετάσεις. Η φοίτηση διαρκούσε πέντε έτη και επικρατούσε απόλυτος εχεμύθεια. Μετά το πέρας των ετών μάθησης ο μαθητής γινότανε μέλος της αδελφότητας. Τα μέλη της αδελφότητας αποκαλούντο ομάκοοι. Τα μαθήματα ήταν προφορικά και στη ζωή ακολουθούσαν ένα τυπικό με αυστηρούς κανονισμούς. Μεγάλη σημασία έδιναν οι Πυθαγόρειοι στον καθαρμό. Αμφισβητείται ότι απείχαν από το κρέας. Κάποιοι λένε ότι απείχαν, άλλοι ότι απείχαν επιλεκτικά από ζώα χρήσιμα στις γεωργικές ασχολίες, βόδια, άλογα, όνοι, και άλλοι αμφισβητούν πλήρως την ύπαρξη διατροφικών απαγορεύσεων. Οι αθλητές όμως επιβαλλόντανε να τρώνε κρέας. Κατά τον Ιάβλιχο όλοι οι κανόνες της πυθαγόρειας διαιτητικής συνδεότανε με την σωματική και ψυχική καθαρότητα και την σχέση του ανθρώπου με το θείο. Οι Πυθαγόρειοι τιμούσαν τους θεούς κατά τα πατροπαράδοτα και με θυσίες, όμως τιμούσαν σύμφωνα με τη θεωρία της μετεμψύχωσης και τις αναίμακτες θυσίες. Συνδεόταν με φιλία και αλληλεγγύη και κατέθεταν περιουσίες σε κοινό ταμείο από το οποίο και συντηρούνταν.

Συγγραφείς της όψιμης αρχαιότητας διασώζουν συλλογές αφορισμών, τα λεγόμενα σύμβολα και ακούσματα, μέρος της πυθαγόρειας διδασκαλίας. Τα ακούσματα, προφορική διδασκαλία απευθύνονται στους μαθητές και τα μαθήματα στους μαθηματικούς. Ο Ιάμβλιχος τα ακούσματα τα διαιρεί σε τρία είδη. Τι εστί, τι μάλιστα, τι δει πράττειν ή μη πράττειν. Ο Πορφύριος παραθέτει επίσης είδος συμβόλων εν είδη καθημερινών συμβουλών. Τα ακούσματα έχουν μορφή παροιμιακής σοφίας με διττό νόημα, ένα που αφορά την καθημερινή ζωή και ένα ανώτερο μόνο για τους μυημένους, που απηχεί τις δύο πλευρές του Πυθαγορισμού ως θρησκευτικού και φιλοσοφικού-επιστημονικού κινήματος. Ο διαχωρισμός μεταξύ αδαούς και μυημένου εκφράζει τον διαχωρισμό μεταξύ δύο μορφών γλώσσας, δύο εννοιολογιών, της μιας μορφής που εξαντλείται σε ένα επιφανειακό αυτονόητο νόημα των πραγμάτων αντιληπτών δια των αισθήσεων και της άλλης μορφής σε ένα βαθύτερο, ανώτερο, υπερβατικό, νόημα των πραγμάτων, αντιληπτών μόνο διά της νόησης.

Ο Πλάτων αυτόν τον διαχωρισμό στη Πολιτεία του τον αναφέρει ως ‘’ορατό τόπο’’ για το αισθητό, και ‘’νοητό τόπο’’ για το νοητό, διαχωρισμό τον οποίο πρώτος ο Πυθαγόρας είχε φέρει στο φως, η δε «φιλοσοφία» του, ο πυθαγορισμός, υπήρξε η μήτρα της φιλοσοφικής θρησκειολογίας και απασών των φιλοσοφιών.

Τα σπουδαιότερα πεδία με τα οποία ασχολήθηκαν ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι είναι.

2. Θεωρία των αριθμών.

Η αριθμολογία, που εξελίχθηκε στη θεωρία των αριθμών είναι ένας πολύ σημαντικός κλάδος των μαθηματικών, την θεμελίωσαν και την ανέπτυξαν ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι. Τι είναι αριθμός; Αριθμός είναι μία έννοια που δηλώνει το σύνολο των μονάδων ή και μέρος αυτών της ίδιας οντότητας, του ιδίου πράγματος. Μονάδα είναι μία διακριτή οντότητα, ένα πράγμα. Ο αριθμός που δηλώνει μόνο ολόκληρες μονάδες λέγεται ακέραιος. Οι ακέραιοι αριθμοί και η θεωρία τους έχουν ευρύτατη εφαρμογή στη φύση και αποτελούν την ουσία πολλών φυσικών μεγεθών, φαινομένων και νόμων της φύσης. Ιδού μερικά παραδείγματα συμμετοχής των ακεραίων αριθμών στη φύση. Η έννοια του ακέραιου αριθμού υπεισέρχεται στον ατομικό αριθμό των στοιχείων, δηλαδή τον αριθμό των πρωτονίων του πυρήνα των στοιχείων που καθορίζει την ταυτότητα του κάθε χημικού στοιχείου. Η μάζα των χημικών στοιχείων αποτελείται από ακέραιο αριθμό ατόμων των στοιχείων και οι ενώσεις από ακέραιο αριθμό μορίων. Η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία σε όλο το φάσμα των συχνοτήτων της, μέρος της οποίας είναι και το φως αποτελείται από διακριτές ακέραιες ποσότητες τα φωτόνια. Το αρνητικό ή θετικό ηλεκτρικό φορτίο αποτελείται από πλεόνασμα ή έλλειμμα ακέραιου αριθμού του στοιχειώδους αρνητικού ηλεκτρικού φορτίου του ηλεκτρονίου. Τα άτομα αποτελούνται από ακέραιο αριθμό ατομικών σωματιδίων, τα πρωτόνια, νετρόνια, ηλεκτρόνια και άλλα υποατομικά σωματίδια. Τα ηλεκτρόνια περιφέρονται γύρω από τον πυρήνα των ατόμων σε διακριτές στοιβάδες. Η αρχή της θεωρίας της κβαντομηχανικής στηρίζεται στη ύπαρξη διακριτών ποσοτήτων ενέργειας.

Ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι μελέτησαν και ανέπτυξαν την θεωρία των αριθμών, όπως αναφέρει και ο Αριστοτέλης στα Μετά τα φυσικά 1.985b 25: «… οι λεγόμενοι Πυθαγόρειοι καταπιάστηκαν πρώτοι με τα μαθηματικά, και όχι μόνο τα ανέπτυξαν, αλλά καθώς αυτά έγιναν δεύτερη φύση, θεώρησαν ότι οι αρχές τους είναι αρχές των όντων». Το απόσπασμα αυτό του Αριστοτέλη δηλώνει μια από τις θεμελιώδεις φιλοσοφικές δοξασίες των Πυθαγορείων, ότι ουσία των όντων είναι ο αριθμός. Είναι δύσκολο να θεωρήσουμε ότι τα μαθηματικά και η θεωρία των αριθμών, ρητών και ασύμμετρων, εφόσον είναι νοητική επινόηση των ανθρώπων, δεν έχει οντολογική αντιστοίχηση στον κόσμο. Γιατί σύμφωνα με τον Παρμενίδη «το γαρ αυτό νοείν εστίν τε και είναι» σημαίνει ότι δεν είναι δυνατόν να νοούμε κάτι χωρίς αυτό να υπάρχει.

Η πεποίθηση του Πυθαγόρα στην οντολογική σπουδαιότητα του αριθμού φαίνεται ότι είναι επηρεασμένη από τον διδάσκαλό του Αναξίμανδρο, ο οποίος προσπάθησε να καθορίσει με μαθηματικούς και αριθμητικούς όρους τις σχέσεις των ουρανίων σωμάτων. Επειδή οι σχέσεις αυτές εμφανίζονται ως σταθερές, είναι εύκολο να συναχθεί το συμπέρασμα ότι στο κόσμο, εκείνο που μένει αναλλοίωτο είναι ο αριθμός. Οι Πυθαγόρειοι υποστηρίζουν ότι τα όντα κατά την εσωτερική ουσία τους είναι αριθμοί, αναπαρίστανται με αριθμούς που σημαίνει, επειδή οι αριθμοί νοούνται, άρα η φύση των όντων είναι νοητή δια των αριθμών, υπάρχει μεταξύ τους αντιστοίχηση, σύμφωνα με την παραπάνω ρήση του Παρμενίδη. Η ταύτιση της ουσίας των όντων με τους αριθμούς έδωσε την ιδέα, ότι δια της μελέτης των αριθμών μπορεί να ανακαλυφθεί η σύσταση του κόσμου. Σε άλλα πυθαγόρεια κείμενα, ο αριθμός θεωρείται βάση της συγγένειας μεταξύ θεών και ανθρώπων. Και μπορεί να μη υπάρχει καθολική ταύτιση της ουσίας του κόσμου και των όντων με τους αριθμούς, τουλάχιστον όμως για ένα μέρος τους ισχύει η θεώρηση αυτή των Πυθαγορείων. Στο κείμενο του Ιερού Λόγου που κατά την παράδοση ο Πυθαγόρας παρέλαβε από τον ιερέα του Ορφέα Αγλαόφημο, υπάρχει η παρακάτω δήλωση. «Η αιώνια ουσία του αριθμού είναι η αρχή που προνοεί απολύτως για όλο τον ουρανό, τη γη και την ενδιάμεση φύση. Είναι ακόμη η βάση της διατήρησης θνητών, θεών και δαιμόνων». Στα Χρυσά Έπη στ. 52-53 αναφέρεται «θα γνωρίσεις, όπως πρέπει ότι η φύση είναι όμοια στο κάθε τι» και συνεπώς όμοια προς τον εαυτό της. Η ρύση αυτή αποτελεί το βασικό συμπέρασμα της θεωρίας των κλασμοειδών (fractals) του Mandelbrot η οποία αναπτύχθηκε μετά από 2500 έτη περίπου.

Οι μαθηματικές μελέτες των Πυθαγορείων συνοδεύονται και με μεταφυσική αριθμολογία. Δηλαδή. Το 1 είναι το πνεύμα, ο αιθέρας, η άδηλος ενέργεια, η άπειρος ουσία από την οποία γίνονται όλα, το 2 είναι η φανερή ύλη-ενέργεια, η άλλη φάση του 1, το 3 ο Χρόνος σαν θεότητα παρελθόν, παρόν, μέλλον, το 4 ο χώρος και η τάξη του κόσμου, το 5 συμβολίζει τα πέντε στοιχεία, γη, νερό, αέρας, πυρ, αιθέρας, τα πέντε κανονικά πολύεδρα, τετράεδρο(4 ισόπλευρα τρίγωνα), κύβο(6 τετράγωνα), οκτάεδρο(8 ισόπλευρα τρίγωνα), δωδεκάεδρο(12 κανονικά πεντάγωνα), εικοσάεδρο(20 ισόπλευρα τρίγωνα), το σύμβολο των Πυθαγορείων την πεντάλφα, το πεντάκτινο αστέρι, το 6 αντιστοιχεί στα έξη είδη έμψυχων όντων: θεοί, δαίμονες, ήρωες, άνθρωποι, ζώα, φυτά, ο 7 στους επτά γνωστούς τότε «πλανήτες» Ερμή, Αφροδίτη, Άρη, Δία, Κρόνο, Σελήνη, Ήλιο, το 8 στις οκτώ ουράνιες σφαίρες, τους φθόγγους της μουσικής και της αρμονίας, το 9 στους κοσμικούς χώρους του Κόσμου όλου και το 10 στο Σύμπαν.

Ο αριθμός 4 είναι ιερός και ονομάζεται τετρακτύς, στο όνομα της οποίας ορκιζόταν οι Πυθαγόρειοι. Τετρακτύς ονομάζεται το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών (1, 2, 3, 4) που ισούται με 10, τον αριθμό του Σύμπαντος. Με την μονάδα, θεωρούσαν το Εν, την Άρρητο Αρχή. Με την προσθήκη μιας μονάδας προκύπτει η γενεσιουργός δυάδα και την προσθήκη άλλης μιας μονάδας προκύπτει η τριαδική σύσταση του Κόσμου. Ο αριθμός 3 είναι ιερός. Ιερός είναι και ο αριθμός 6, διότι 3³+4³+5³=6³ και συμβολίζει τον ψυχογονικό κύβο με πλευρά 6. Ιεροί είναι και οι αριθμοί 7 και 8. Κατά τον Θέωνα υπάρχουν ένδεκα διαφορετικές τετράδες αριθμών με ιδιαίτερη σημασία για κάθε μία. Οι αριθμοί 3,4,5 είναι ιεροί στο σύνολό τους διότι επαληθεύουν το Πυθαγόρειο θεώρημα 3²+4²=5².

Οι Πυθαγόρειοι για να μελετήσουν τις ιδιότητες των αριθμών επινόησαν επιστημονικές μεθόδους και αξιώματα ήτοι, τα αξιώματα, την απόδειξη και την εις άτοπο απαγωγή. Επί αυτών στηρίζεται σήμερα η σύγχρονη μελέτη της θεωρητικής αριθμητικής. Καθόρισαν τους αριθμούς σε αρτίους και περιττούς, από το αν ένας αριθμός διαιρείται ή όχι ακριβώς με το 2. Ο περιττός αντιστοιχίστηκε με το πεπερασμένο και ο άρτιος με το άπειρο διότι είναι επ’ άπειρο διαιρετός. Με βάση το άθροισμα των διαιρετών ενός αριθμού συμπεριλαμβανομένης και της μονάδας αν είναι μεγαλύτερο, μικρότερο, ή ίσο του αριθμού ονομάστηκαν υπερτελείς, ελλιπείς και τέλειοι. Εξέτασαν τους αριθμούς από γεωμετρικής αναπαράστασής τους. Μελέτησαν το άθροισμα και τις ιδιότητές μαθηματικών σειρών, μερικές περιπτώσεις των οποίων αποτελούν οι αριθμητικές και γεωμετρικές πρόοδοι. Στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγορείους ανήκει: Η απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος, όπως και η εύρεση των ακεραίων λύσεων των τριάδων αυτού, η διαπίστωση της ύπαρξης και η απόδειξη των απείρων λύσεων αυτού. Η μελέτη των ιδιοτήτων των φυσικών αριθμών, των ρητών, των αρρήτων-ασύμμετρων αριθμών, η θεωρία των αναλογιών. Η μελέτη της αρμονίας των ήχων, των χορδών, των φίλων των τελείων και υπερτελείων αριθμών, η χρυσή τομή δηλαδή η διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο.

Οι Πυθαγόρειοι μελέτησαν και τους ασύμμετρους αριθμούς.

Ασύμμετροι ή άρρητοι αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που δεν είναι δυνατόν να παρασταθούν με ανάγωγο κλάσμα δηλαδή, η διαίρεσή του αριθμητή με τον παρονομαστή δεν είναι τέλεια. Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ασύμμετρος αριθμός, δηλαδή δεν τελειώνει η εύρεση των ψηφίων του αριθμού ποτέ. Υπάρχει το έξης παράδοξο. Ενώ γεωμετρικά είναι δυνατή η κατασκευή της τετραγωνικής ρίζας του 2 δηλαδή το τετρ. ρίζα 2 σαν ευθύγραμμο τμήμα, όμως δεν είναι δυνατόν να μετρηθεί και να υπολογισθεί το μήκος του ευθυγράμμου αυτού τμήματος. Κατασκευάζουμε τετράγωνο με πλευρά ευθύγραμμο τμήμα και το ορίζουμε σαν μονάδα1, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, αποδεικνύεται ότι η υποτείνουσα του έχει μήκος Υποτείνουσα = τετρ. ρίζα 2. Και ενώ κατασκευάσαμε το μήκος τετρ. ρίζα 2, δεν δυνάμεθα να το μετρήσουμε, δηλαδή να υπολογίσουμε την τετρ. ρίζα 2 ακριβώς. Με σχετική ακρίβεια 12 δεκαδικών ψηφίων η τετρ. ρίζα 2 είναι 1,414213562373………. και τα ψηφία συνεχίζονται επ’ άπειρο. Αυτό το παράδοξο προξένησε κατάπληξη στον Πυθαγόρα και τους Πυθαγόρειους. Ενώ υπάρχει και κατασκευάζεται το ασύμμετρο μήκος δεν δύναται να μετρηθεί δηλαδή να αναπαρασταθεί το μήκος τετρ. ρίζα 2 σαν αριθμός σύμφωνα με τα γνωστά αριθμητικά συστήματα μονάδων. Σύμφωνα με τον Παρμενίδη όμως «το γαρ αυτό νοείν εστίν τε και είναι» δηλαδή δεν είναι δυνατόν να νοούμε κάτι χωρίς αυτό να υπάρχει, συμπεραίνουμε από το ανωτέρω παράδειγμα ότι και οι ασύμμετροι έχουν οντολογική ύπαρξη.

Λέτε οι ασύμμετροι αριθμοί να αποτελούν στοιχεία ή πύλες διόδου επόμενων άγνωστων κβαντισμένων κοσμικών χώρων, όπου ισχύουν άγνωστοι νόμοι, ίσως και άλλα συστήματα παράστασης αριθμών και αυτός να είναι ο λόγος που δεν δυνάμεθα να παραστήσουμε αριθμητικά τους ασύμμετρους;

Διακεκριμένοι θεωρητικοί φυσικοί φιλοδοξούν να εξηγήσουν σε ένα ενδεκαδιάστατο χώρο τα πάντα στο Σύμπαν από την Μεγάλη έκρηξη έως τα υποατομικά σωματίδια με όρους δονουμένων χορδών που πρώτος ο Πυθαγόρας μελέτησε. Ενδεκαδιάστατος όμως χώρος σημαίνει την ύπαρξη δώδεκα επάλληλων-κβαντισμένων κοσμικών χώρων.

3. Γεωμερία, Μουσική, Κοσμολογία.

Ένας άλλος κλάδος των μαθηματικών με τα οποία ασχολήθηκε και ανέπτυξε ο Πυθαγόρας και εν συνεχεία οι Πυθαγόρειοι είναι η γεωμετρία, η μουσική και η κοσμολογία. Εκτός όμως της απόδειξης, γνωστής ήδη στους Έλληνες που εφάρμοσε και ανέπτυξε στην απόδειξη γεωμετρικών θεωρημάτων, πορισμάτων, υπολογισμών, κατασκευών γεωμετρικών σχημάτων κλπ, η διαπίστωση των σχέσεων της τάξης, της συμμετρίας, της αρμονίας τον ώθησε, στην βαθύτερη φιλοσοφία της γεωμετρίας, της μουσικής και στην διερεύνηση της αντιστοίχησης της θεωρίας των αριθμών, της γεωμετρίας και της μουσικής με τις αρχές που διέπουν την λειτουργία του Σύμπαντος. Δεδομένου όμως ότι υφίσταται οντολογική σχέση σύμφωνα με τη ρύση του Παρμενίδη «διότι αυτό που νοούμε υπάρχει» οι φιλοσοφικές θεωρήσεις του Πυθαγόρα για την γεωμετρία, τους αριθμούς, τη μουσική ίσως να ξενίζουν στους αδαείς ή ακόμη στους μη φυσικομαθηματικούς επιστήμονες όμως για τους ειδικούς στη μελέτη της ύλης και του Σύμπαντος όχι μόνο είναι ορθές αλλά και αποτελούν πύλες διόδου και κατανόησης έστω και εν μέρει της ουσίας της ύλης και του Σύμπαντος.

Γεωμετρία.

Σύμφωνα με τον Πρόκλο +(412-485) Διευθυντή της Ακαδημίας του Πλάτωνα που επικαλείται τη μαρτυρία του Εύδημου –(370-300) τα παρακάτω αποτελούν ανακαλύψεις του Πυθαγόρα-Πυθαγορείων:

1. Το Πυθαγόρειο θεώρημα το διατύπωσε και το απέδειξε μαθηματικά πρώτος ο Πυθαγόρας «των μεν ιστορείν τα αρχαία βουλομένων ακούοντας το θεώρημα τούτο εις Πυθαγόραν αναπεμπόντων εστίν ευρείν…». Σύμφωνα με την παράδοση ο Πυθαγόρας μετά την απόδειξη του θεωρήματος έκανε θυσία εκατόμβης βοών για να ευχαριστήσει τους θεούς.

2. (Εις Ευκλ., 379, 2, πρότ. 32), ανακάλυψη του Πυθαγόρα είναι το θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με δύο ορθές.

3. Κάθε σημείο καθορίζεται από ένα σημείο ως τομή δύο ευθειών. Η ευθεία από 2 σημεία, η επιφάνεια από 3 μη συγγραμμικά σημεία, ο όγκος από 4 μη συνεπιφανειακά σημεία.

4. Το πρόβλημα της κατασκευής σχήματος ίσου ή όμοιου προς δεδομένο άλλο σχήμα.

5. (Εις Ευκλ., 419, 15, πρότ. 44) Η εισαγωγή των όρων παραβολή, υπερβολή, έλλειψη. Το άθροισμα των συνεπιφανειακών γωνιών γύρω από ένα σημείο είναι 4 ορθές.

6. Σύμφωνα με τον Σιμπλίκιο (Εις φυσικά 377b) που παραπέμπει στον Ιάμβλιχο προσπάθησαν να λύσουν το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου.

7. Η ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών.

8. Η εύρεση των λεγομένων κοσμικών σωμάτων, των τεσσάρων στοιχείων από τα οποία αποτελείται το κοσμικό Σύμπαν. Το τετράεδρο που συμβολίζει το πυρ, το οκτάεδρο που συμβολίζει τον αέρα, το εικοσάεδρο που συμβολίζει το ύδωρ και ο κύβος που συμβολίζει τη γη. Στα τέσσερα αυτά προστέθηκε αργότερα από τον Ίππασο σαν πέμπτο το δωδεκάεδρο αποτελούμενο από δώδεκα ισόπλευρα πεντάγωνα και αποτελεί σύμβολο «της του παντός σφαίρα».

Μουσική

Σημαντική ανακάλυψη είναι η θεωρία των αναλογιών. Από την θεωρία αυτή ο Πυθαγόρας προχώρησε στην ανακάλυψη της «μουσικής μεσότητας», που θεωρήθηκε η τελειότερη όλων, καθοριζόμενη από την παρακάτω αριθμητική παράσταση α:((α+β):2) = ((2αβ):(α+β)):β. Οι ανακαλύψεις αυτές εφαρμόσθηκαν και στη μουσική, διότι τα μουσικά διαστήματα θεωρήθηκε ότι αντιστοιχούν στους αριθμητικούς λόγους μεταξύ τιμών που καθορίζουν τα μήκη των χορδών, με ένταση την ίδια. Καθορίσθηκαν οι οκτάβες και οι συγχορδίες στα έγχορδα. Η θεωρία της αρμονίας και της αριθμητικής αναλογίας είναι του ιδίου του Πυθαγόρα. Η Πυθαγόρεια μουσική κλίμακα περιέχει οκτώ φθόγγους και επτά διαστήματα. Η κλίμακα από τον οξύτερο προς βαρύτερο είναι νήτη, παρανήτη, τρίτη, παραμέση, μέση, λιχανός, παρυπάτη, υπάτη. Η εκφώνηση γινότανε με τις συλλαβές, τη, τα, τε, τω, τη, τα, τω, τη (κατ’ αντιστοιχία σήμερα με ντο, ρε, μη, φα, σολ, λα σι, ντο).

Αν αντιστοιχίσουμε τους φθόγγους της Πυθαγόρειας κλίμακας με τις συχνότητες των παλμικών δονήσεων και τους λόγους (επόμενου προς προηγούμενο) προκύπτει η παρακάτω αντιστοιχία.

Συχνότητες

τη τα τε τω τη τα τω τη

1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

Διαστήματα αντίστοιχα

9/8 6/8 256/243 9/8 9/8 9/8 256/243

Τόνοι αντίστοιχοι

Τόνος τόνος ημιτόνιο τόνος τόνος τόνος ημιτόνιο

Καθόρισαν την εναρμόνια, την χρωματική και διατονική κλίμακα.

Ο Πυθαγόρας καθόρησε τις βάσεις της σημερινής μουσικής αρμονίας.

Η σημερινή Ευρωπαϊκή και Βυζαντινή μουσική είναι παραλλαγές της αρχαίας Ελληνικής μουσικής βασιζόμενες στη Πυθαγόρεια μουσική αρμονία. Ενώ είναι βέβαιο ότι ο Ιουδαιοχριστιανισμός κατάστρεψε ένα μέρος της Πυθαγόρειας μουσικής, το Απολλώνιο μέρος τελικά διασώθηκε σαν Ευρωπαϊκή μουσική, το δε Βακχικό-Διονυσιακό το διέσωσε ο ίδιος ο Ελληνικός λαός σαν παραδοσιακή λαϊκή μουσική.

Κοσμολογία

Σύμφωνα με τον Φιλόλαο (Στοβαίος, 1. 21. 7 d), αν το Σύμπαν συγκροτείται από περαίνοντα και άπειρα, αυτά πρέπει να ακολουθήσουν μια διαδικασία αρμονίας, δηλαδή, αμοιβαίας προσαρμογής. Αυτήν την Πυθαγόρεια αρμονική αναλογίας χρησιμοποίησε και ο Πλάτων στον (Τίμαιο).

Το ότι η αρμονία είχε, για τους Πυθαγορείους, κυριολεκτικά κοσμική σημασία φαίνεται από τη θεωρία τους περί «αρμονίας των σφαιρών».

Ο Αριστοτέλης αναλύει τη θεωρία αυτή στο, Περί ουρανού 2.9 και συμπερασματικά έχει ως εξής. Η θεωρία αυτή στηρίζεται στην παρατήρηση ότι κάθε τι που κινείται γρήγορα παράγει ήχο. Το φαινόμενο αυτό πρέπει να παρατηρείται και κατά την κίνηση των άστρων, και ιδίως των πλανητών. Οι ήχοι που παράγονται με τον τρόπο αυτό εξαρτώνται από την απόσταση των άστρων, και είναι ανάλογοι με τα διαστήματα της μουσικής κλίμακας. Το ότι οι άνθρωποι δεν αντιλαμβάνονται την αρμονία των ουρανίων σφαιρών οφείλεται στο γεγονός, ότι την ακούνε από τότε που γεννήθηκαν κι έτσι την έχουν συνηθίσει.

Αυτό φαίνεται εξωπραγματικό, αλλά αν λάβουμε υπ’ όψη ότι γύρω από κάθε πλανήτη υπάρχει το μαγνητικό πεδίο του, και γνωρίζουμε ότι κινούμενο-μεταβαλόμενο μαγνητικό πεδίο παράγει ηλεκτρικό πεδίο τότε ο ήχος της αρμονίας των ουρανίων σφαιρών μπορεί να αντιστοιχιστεί με τα παραγόμενα ηλεκτρομαγνητικά πεδία και έτσι να τεκμηριώνεται η ουσία της θεωρίας της αρμονίας των ουρανίων σφαιρών. Και ακόμη πρόσθετη αιτιολόγηση προκύπτει από τις σύγχρονες θεωρίες ότι εκτός της ύλης στο παρασκήνιο υπάρχει και άλλου είδους ύλη-ενέργεια-αιθέρας άγνωστης υφής σε μας.

Και στην αστρονομία οι ανακαλύψεις των Πυθαγορείων είναι σπουδαίες. Είναι οι πρώτοι οι οποίοι διατύπωσαν την θεωρία, ότι ο κόσμος είναι ένας, σφαιρικός και πεπερασμένος. Μίλησαν για την σφαιρικότητα της Γης, την κίνηση αυτής περί τον άξονά της και περί τον Ήλιο. Η ανακάλυψη της λόξωσης της εκλειπτικής αποδίδεται στους Πυθαγορείους.

Στο πρόβλημα Πυθαγόρας και Πυθαγόρειοι δεν είναι εύκολη η απάντηση γιατί οι πληροφορίες γράφηκαν εκατό έτη μετά τον θάνατο του Πυθαγόρα. Η δε σιγή στην οποία υποχρεωνότανε με όρκο οι Πυθαγόρειοι αποτέλεσε το μεγαλύτερο εμπόδιο στη γνώση της αλήθειας. Η συμβολή του Πυθαγόρα στον Κρότωνα ήταν πρωταρχική και ουσιαστική και το ότι οι οπαδοί του αποκαλεστήκαν Πυθαγόρειοι αυτό δείχνει το μέγεθος της προσωπικότητας του Πυθαγόρα.

Ο Κόσμος, το Σύμπαν που αντιλαμβανόμαστε είναι μια έκφανση του Ενός, της Αρρήτου Αρχής και δεν μπορεί παρά να περικλείει την ύψιστη συμμετρία και τάξη της Αρρήτου Αρχής. Αυτό διατύπωσε και ανέδειξε ο Πυθαγόρας με τα μαθηματικά που αποτελούν την βάση όλων των σημερινών μαθηματικών.

Θεωρία της ψυχής και θρησκεία.

Η ηθική και παιδαγωγική του Πυθαγόρα

Πυθαγόρεια μυστήρια. Ο Μέγας Μύστης